그림과 같이 좌표평면 위에 원 [eqn: C : (x - 7)^{2} + (y - 3)^{2} = 2`]와 점 [eqn: {rm{A}it}(2,`0)`]이 있다. 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: {rm{P}it}`], 직선 [eqn: y = x] 위의 점 [eqn: {rm{Q}it}`]에 대하여 [eqn: {bar {rm AQ}} + {bar {rm QP}}`]의 최솟값은?

[26년 고2 3월 샘플 2번]

① [eqn: 3 sqrt {2}]	② [eqn: 4 sqrt {2}]	③ [eqn: 5 sqrt {2}]

④ [eqn: 6 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 7 sqrt {2}]

그림과 같이 좌표평면 위에 원 [eqn: C : (x - 7)^{2} + (y - 2)^{2} = 8`]과 점 [eqn: {rm{A}it}(1,`0)`]이 있다. 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: {rm{P}it}`], 직선 [eqn: y = x] 위의 점 [eqn: {rm{Q}it}`]에 대하여 [eqn: {bar {rm AQ}} + {bar {rm QP}}`]의 최솟값은?

① [eqn: 7 sqrt {2}]	② [eqn: 5 sqrt {2}]	③ [eqn: 3 sqrt {2}]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt {2}]

그림과 같이 좌표평면 위에 원 [eqn: C`]와 점 [eqn: {rm{A}it}(2,`0)`]이 있다. 원 [eqn: C`]의 중심은 직선 [eqn: y = x - 6] 위에 있고, 원 [eqn: C`]는 두 점 [eqn: (6,`2)`], [eqn: (8,`4)`]를 지난다. 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: {rm{P}it}`], 직선 [eqn: y = x] 위의 점 [eqn: {rm{Q}it}`]에 대하여 [eqn: {bar {rm AQ}} + {bar {rm QP}}`]의 최솟값은?

[정답] ⑤

변형	●●●○○ 조건 간접화
난이도	발상 ●●●●○ / 계산 ●●●●○○
기준	발상 ●●●○○ / 계산 ●●●○○○

[발상]

원이 방정식으로 주어지지 않았으므로 중심과 반지름을 먼저 되찾는다.

중심이 놓인 직선이 주어지면 중심의 좌표를 문자 하나로 놓을 수 있고, 원이 지나는 두 점에서 중심까지의 거리가 같다는 등식이 그 문자를 정한다.

원이 정해진 다음은 직선 [eqn: y = x`]에 대하여 대칭이동해 꺾인 경로를 곧게 펴고, 중심까지의 거리에서 반지름을 빼면 된다.

[풀이]

원 [eqn: C`]의 중심은 직선 [eqn: y = x - 6] 위에 있으므로 중심의 좌표를 [eqn: (a,`a - 6)`]이라 하자.

원 [eqn: C`]가 두 점 [eqn: (6,`2)`], [eqn: (8,`4)`]를 지나므로 중심에서 두 점까지의 거리가 같다. 즉

[eqn: (6 - a)^{2} + left {2 - (a - 6) right}^{2} = (8 - a)^{2} + left {4 - (a - 6) right}^{2}]

에서

[eqn: (6 - a)^{2} + (8 - a)^{2} = (8 - a)^{2} + (10 - a)^{2}]

이므로 [eqn: (6 - a)^{2} = (10 - a)^{2}`]이고

[eqn: 36 - 12a = 100 - 20a]

에서 [eqn: a = 8`]이다.

따라서 원 [eqn: C`]의 중심은 [eqn: (8,`2)`]이고 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {(6 - 8)^{2} + (2 - 2)^{2}} = 2`]이므로

[eqn: C : (x - 8)^{2} + (y - 2)^{2} = 4]

이다. 원 [eqn: C`]를 직선 [eqn: y = x`]에 대하여 대칭이동한 원을 [eqn: C'`]이라 하면 [eqn: C' : (x - 2)^{2} + (y - 8)^{2} = 4`]이므로, 원 [eqn: C'`]의 중심을 [eqn: {rm{D}it}`]라 하면 [eqn: {rm{D}it}(2,`8)`]이고 반지름의 길이는 [eqn: 2`]이다.

점 [eqn: {rm{P}it}`]를 직선 [eqn: y = x`]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: {rm{P}it}'`]이라 하면 점 [eqn: {rm{P}it}'`]은 원 [eqn: C'] 위에 있고 [eqn: {bar {rm QP}} = {bar {{rm{QP}it}'}}`]이므로

[eqn: {bar {rm AQ}} + {bar {rm QP}} = {bar {rm AQ}} + {bar {{rm{QP}it}'}} ge {bar {{rm{AP}it}'}} ge {bar {rm AD}} - {bar {{rm{P}it}'{rm{D}it}}}]

이고, 두 등호는 네 점 [eqn: {rm{A}it}`], [eqn: {rm{Q}it}`], [eqn: {rm{P}it}'`], [eqn: {rm{D}it}`]가 이 차례로 한 직선 위에 있을 때 함께 성립한다.

한편

[eqn: {bar {rm AD}} = sqrt {(2 - 2)^{2} + (8 - 0)^{2}} = 8]

이고 [eqn: {bar {{rm{P}it}'{rm{D}it}}} = 2`]이므로

[eqn: {bar {rm AQ}} + {bar {rm QP}} ge 8 - 2 = 6]

이다. 그러므로 구하는 최솟값은 [eqn: 6`]이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 6]

그림과 같이 좌표평면 위에 원 [eqn: C : (x - 10)^{2} + (y - 5)^{2} = 5`]와 점 [eqn: {rm{A}it}(11,`2)`]가 있다. [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: {rm{R}it}`], 직선 [eqn: y = x] 위의 점 [eqn: {rm{Q}it}`], 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: {rm{P}it}`]에 대하여 [eqn: {bar {rm AR}} + {bar {rm RQ}} + {bar {rm QP}}`]의 최솟값은?

[정답] ③

변형	●●●●● 구조 재구성
난이도	발상 ●●●●○ / 계산 ●●●●○○
기준	발상 ●●●○○ / 계산 ●●●○○○

[발상]

꺾이는 자리가 둘이면 옮기는 일도 두 번 이다 — 먼저 [eqn: x`]축에 대하여, 다음에 직선 [eqn: y = x`]에 대하여 잇달아 대칭이동한다.

옮기는 대상은 원이 아니라 점 [eqn: {rm{A}it}] 다. 점 [eqn: {rm{R}it}`]가 [eqn: x`]축 위에 있으면 [eqn: {bar {rm AR}}`]는 대칭점까지의 거리와 같고, 점 [eqn: {rm{Q}it}`]가 직선 [eqn: y = x] 위에 있으면 다시 한 번 같아진다.

두 번 옮기고 나면 남는 것은 한 점에서 원 위의 점까지의 거리이므로, 중심까지의 거리에서 반지름을 빼면 된다.

[풀이]

점 [eqn: {rm{A}it}`]를 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: {rm{A}it}'`]이라 하면 [eqn: {rm{A}it}'(11,`-2)`]이고, 점 [eqn: {rm{R}it}`]가 [eqn: x`]축 위의 점이므로 [eqn: {bar {rm AR}} = {bar {{rm{A}it}'{rm{R}it}}}`]이다. 따라서

[eqn: {bar {rm AR}} + {bar {rm RQ}} + {bar {rm QP}} = {bar {{rm{A}it}'{rm{R}it}}} + {bar {rm RQ}} + {bar {rm QP}} ge {bar {{rm{A}it}'{rm{Q}it}}} + {bar {rm QP}}]

…… ㉠ 이고, ㉠ 의 등호는 점 [eqn: {rm{R}it}`]가 선분 [eqn: {rm{A}it}'{rm{Q}it}] 위에 있을 때 성립한다.

점 [eqn: {rm{A}it}'`]을 직선 [eqn: y = x`]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: {rm{A}it}''`]이라 하면 [eqn: {rm{A}it}''(-2,`11)`]이고, 점 [eqn: {rm{Q}it}`]가 직선 [eqn: y = x] 위의 점이므로 [eqn: {bar {{rm{A}it}'{rm{Q}it}}} = {bar {{rm{A}it}''{rm{Q}it}}}`]이다. 따라서

[eqn: {bar {{rm{A}it}'{rm{Q}it}}} + {bar {rm QP}} = {bar {{rm{A}it}''{rm{Q}it}}} + {bar {rm QP}} ge {bar {{rm{A}it}''{rm{P}it}}}]

…… ㉡ 이고, ㉡ 의 등호는 점 [eqn: {rm{Q}it}`]가 선분 [eqn: {rm{A}it}''{rm{P}it}] 위에 있을 때 성립한다.

원 [eqn: C`]의 중심을 [eqn: {rm{D}it}`], 반지름의 길이를 [eqn: r`]이라 하면 [eqn: {rm{D}it}(10,`5)`], [eqn: r = sqrt {5}`]이고, 삼각형 [eqn: {rm{A}it}''{rm{PD}it}`]에서

[eqn: {bar {{rm{A}it}''{rm{P}it}}} ge {bar {{rm{A}it}''{rm{D}it}}} - {bar {rm PD}}]

…… ㉢ 이고, ㉢ 의 등호는 점 [eqn: {rm{P}it}`]가 선분 [eqn: {rm{A}it}''{rm{D}it}] 위에 있을 때 성립한다.

한편

[eqn: {bar {{rm{A}it}''{rm{D}it}}} = sqrt {left {10 - (-2) right}^{2} + (5 - 11)^{2}} = sqrt {180} = 6 sqrt {5}]

이므로 ㉠, ㉡, ㉢ 에서

[eqn: {bar {rm AR}} + {bar {rm RQ}} + {bar {rm QP}} ge 6 sqrt {5} - sqrt {5} = 5 sqrt {5}]

이다. 실제로 선분 [eqn: {rm{A}it}''{rm{D}it}`]가 원 [eqn: C`]와 만나는 점 [eqn: {rm{P}it}(8,`6)`], 선분 [eqn: {rm{A}it}''{rm{P}it}`]가 직선 [eqn: y = x`]와 만나는 점 [eqn: {rm{Q}it} left( {20} over {3},`{20} over {3} right)`], 선분 [eqn: {rm{A}it}'{rm{Q}it}`]가 [eqn: x`]축과 만나는 점 [eqn: {rm{R}it}(10,`0)`]을 잡으면 세 등호가 모두 성립한다.

그러므로 구하는 최솟값은 [eqn: 5 sqrt {5}`]이다.

① [eqn: 7 sqrt {5}]	② [eqn: 6 sqrt {5}]	③ [eqn: 5 sqrt {5}]

④ [eqn: 4 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 5 sqrt {2}]

(해설)
	2026.03.14